А. М. Ляўданскі нарадзіўся ў в. Юр'ева Барысаўскага павета Мінскай губ. Скончыў народнае вучылішча, пасля чаго працаваў у паштовай установе. У гады Першай сусветнай вайны служыў у дзеючай арміі. Пасля мабілізацыі (1918) вучыўся ў Смаленскім аддзяленні Маскоўскага археалагічнага інстытута, затым у Смаленскім універсітэце, які скончыў у 1925 г. У 1925-1927 гг. працаваў асістэнтам археалагічнага кабінета Смаленскага ўніверсітэта і супрацоўнікам мясцовага краязнаўчага музея. З 1927 года пачаў працаваць у Інбелкульце і адначасова загадчыкам аддзела археалогіі Беларускага дзяржаўнага музея. З 1931 г. - навуковы сакратар, загадчык секцыяй археалогіі Інстытута гісторыі БАН і дацэнт БДУ. У 1934 г. А. М. Ляўданскаму прысуджана вучоная ступень кандыдата гістарычных навук.
Працуючы на Смаленшчыне, адкрыў і апісаў больш за 300 гарадзішчаў жалезнага веку, стварыў першую навуковую класіфікацыю умацаваных паселішчаў. Ён выявіў 4 групы гарадзішчаў, 3 з якіх аднёс да жалезнага веку. У 1923-1924 гг. распачаў першыя пасля рэвалюцыі і Грамадзянскай вайны раскопкі гарадзішчаў (Буда, Свідна) на тэрыторыі Смалявіцкага і Лагойскага р-наў Мінскай вобл., якія далі штрыхаваную кераміку, аналагічную посуду гарадзішчаў Багуцішкі і Афярышкі, даследаваных ў канцы XIX ст. Ф. В. Пакроўскiм. Услед за А. А. Спіцыным А. М. Ляўданскі адносіў іх да ліку «літоўскіх» і датаваў VI-VII стст. н. э. У канцы 1920-х - пачатку 1930-х гг. вучоны правёў шырокія разведкі і раскопкі гарадзішчаў жалезнага веку ў Беларускім Падзвінні, Верхнім Падняпроўі і ў басейне р. Прыпяць, якія дазволілі яму вылучыць тры лакальныя групы умацаваных паселішчаў: гарадзішча з ляпной гладкасценнай керамікай Падзвіння і Верхняга Падняпроўя, гарадзішча са штрыхаванай керамікай Цэнтральнай Беларусі, гарадзішча з керамікай паўднёвага тыпу. Намечаны іх арэалы, ахарактарызаваны матэрыяльная культура і гаспадарчая дзейнасць плямёнаў, прапанаваныя храналогія гарадзішчаў і стадыяльнасць іх развіцця. У адносінах да першых двух груп ўслед за А. А. Спіцыным А. М. Ляўданскі выказаў меркаванне аб прыналежнасці іх да балцкім плямёнам. Такім чынам, у пачатку 1930-х гг. ён ушчыльную падышоў да выдзялення асноўных археалагічных культур жалезнага веку на тэрыторыі Беларусі і Смаленшчыны. А гэта, у сваю чаргу, дазволіла П. М. Траццякову ў 1940-1941 гг. скласці агульную карту лакальных груп гарадзішчаў лясной паласы Усходняй Еўропы.
З 1925 г. А. М. Ляўданскі вывучае сярэднявечныя помнікі на тэрыторыі Беларусі. Ён даследуе курганы ў Заслаўі, дзе ўпершыню ужыў методыку раскопак курганоў на знос, а таксама пераканаўча паказаў, што заслаўскія курганы былі пакінутыя змяшаным дрыгавіцка-крывіцкім насельніцтвам. Агулам ім вывучана звыш 300 курганных насыпаў у Падзвінне, Верхнім Падняпроўі і Палессі. Аналізуючы матэрыялы раскапаных ім Бельчыцкіх курганоў у Полацку, вучоны прасачыў эвалюцыйны ланцужок пахавальнага абраду мясцовых крывічоў: ад трупаспалення X ст. да інгумацыі ў ямах канца XI - пачатку XII ст. А. М. Ляўданскі першым прыступіў да сістэматычнага даследавання гарадоў Полацка, Віцебска, Оршы, Заслаўя, Барысава. Яму належыць здагадка аб тым, што першапачатковы дзяцінец Полацка размяшчаўся на гарадзішчы ў р. Палата, а пазней быў перанесены на тэрыторыю Верхняга замка.
19 траўня 1937 г. арыштаваны па ілжывым абвінавачванні. 27 жніўня расстраляны ў г. Мінску. Рэабілітаваны у 1958 годзе.
