А. Н. Лявданский родился в д. Юрьево Борисовского повета Минской губ. Окончил народное училище, после чего работал в почтовом ведомстве. В годы Первой мировой войны служил в действующей армии. После мобилизации (1918) учился в Смоленском отделении Московского археологического института, затем в Смоленском университете, который окончил в 1925 г. В 1925–1927 гг. работал ассистентом археологического кабинета Смоленского университета и сотрудником местного краеведческого музея. С 1927 г. начал работать в Инбелкульте и одновременно заведующим отделом археологии Белорусского государственного музея. С 1931 г. – ученый секретарь, заведующий секцией археологии Института истории БАН и доцент БГУ. В 1934 г. А. Н. Лявданскому присуждена ученая степень кандидата исторических наук.
Работая на Смоленщине, открыл и описал более 300 городищ железного века, создал первую научную классификацию укрепленных поселений. Он выявил 4 группы городищ, 3 из которых отнес к железному веку. В 1923–1924 гг. предпринял первые после революции и Гражданской войны раскопки городищ (Буда, Свидно) на территории Смолевичского и Логойского р-нов Минской обл., которые дали штрихованную керамику, аналогичную посуде городищ Богутишки и Офяришки, исследованных в конце XIX в. Ф. В. Покровским. Вслед за А. А. Спицыным А. Н. Лявданский относил их к числу «литовских» и датировал VI–VII вв. н. э. В конце 1920-х – начале 1930-х гг. ученый провел обширные разведки и раскопки городищ железного века в Белорусском Подвинье, Верхнем Поднепровье и в бассейне р. Припять, которые позволили ему выделить три локальные группы укрепленных поселений: городища с лепной гладкостенной керамикой Подвинья и Верхнего Поднепровья, городища со штрихованной керамикой Центральной Беларуси, городища с керамикой южного типа. Намечены их ареалы, охарактеризованы материальная культура и хозяйственная деятельность племен, предложены хронология городищ и стадиальность их развития. В отношении первых двух групп вслед за А. А. Спицыным А. Н. Лявданский высказал предположение о принадлежности их к балтским племенам. Таким образом, в начале 1930-х гг. он вплотную подошел к выделению основных археологических культур железного века на территории Беларуси и Смоленщины. А это, в свою очередь, позволило П. Н. Третьякову в 1940–1941 гг. составить общую карту локальных групп городищ лесной полосы Восточной Европы.
С 1925 г. А. Н. Лявданский изучает средневековые памятники на территории Беларуси. Он исследует курганы в Заславле, где впервые применил методику раскопок курганов на снос, а также убедительно показал, что заславские курганы были оставлены смешанным дреговичско-кривичским населением. Всего им изучено свыше 300 курганных насыпей в Подвинье, Верхнем Поднепровье и Полесье. Анализируя материалы раскопанных им Бельчицких курганов в Полоцке, ученый проследил эволюционную цепочку погребального обряда местных кривичей: от трупосожжения X в. до ингумации в ямах конца XI – начала XII в. А. Н. Лявданский первым приступил к систематическому исследованию городов Полоцка, Витебска, Орши, Заславля, Борисова. Ему принадлежит предположение о том, что первоначальный детинец Полоцка размещался на городище у р. Полота, а позднее был перенесен на территорию Верхнего замка.
19 мая 1937 г. арестован по ложному обвинению. 27 августа расстрелян в г. Минске. Реабилитирован в 1958 г.